如图,椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使向量OA＋向量OB＝向量OC.（1）求椭圆的离心率

Question

如图,椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使向量OA＋向量OB＝向量OC.（1）求椭圆的离心率

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 且a>b>0
则其右焦点为(c,0) c=√(a^2-b^2)
设故直线AB方程为y=x-c
代入椭圆方程得x^2/a^2+(x-c)^2/b^2=1
化简得(b^2+a^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2c/(a^2+b^2)
y1+y2=x1+x2-2c=(-b^2c)/(a^2+b^2)
由则C横坐标为2a^2c/(a^2+b^2)纵坐标为-2b^2c/(a^2+b^2),且该点在椭圆上
该点代入椭圆方程得4a^4-12a^2c^2+5c^4=0
解得a^2=5c^2/2或c^2/2（舍去）
故a=√10c/2
e=c/a=2/√10=√10/5