已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0），斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0），斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k1=1时，求S_△AOB的值；
（3）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k₂，求证：(k1)/(k2)为定值．

Answer 1

（1）∵（2a-3c）+（a-c）i=i，∴2a-3c=0且a-c=1，∴a=3，c=2
∴b²=a²-c²=5，
故椭圆的方程为(x2)/(9)+(y2)/(5)＝1；
（2）由（1）知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
代入椭圆方程，消去y可得14x²+36x-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-(18)/(7)，x₁x₂=-(9)/(14)
∴|AB|=√(2)|x₁-x₂|=(30)/(7)
设O点到直线AB的距离为d，则d=(|0−0+2|)/(√(2))=√(2)
∴S_△AOB=(1)/(2)|AB|•d=(1)/(2)×(30)/(7)×√(2)=(15√(2))/(7)；
（3）证明：设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直线AR的方程为y=(y1)/(x1−1)(x−1)，即x＝(x1−1)/(y1)y+1
代入椭圆方程消去x并整理，得(5−x1)/(y12)y2+(x1−1)/(y1)y−4＝0
则y₁y₃=-(4y12)/(5−x1)，∴y₃=(4y1)/(x1−5)
∴x3＝(x1−1)/(y1)y3+1=(5x1−9)/(x1−5)
∴C（(5x1−9)/(x1−5)，(4y1)/(x1−5)）
同理D（(5x2−9)/(x2−5)，(4y2)/(x2−5)）
∴k₂=((4y1)/(x1−5)−(4y2)/(x2−5))/((5x1−9)/(x1−5)−(5x2−9)/(x2−5))=(4y1(x2−5)−4y2(x1−5))/(16(x2−x1))
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₁（x₂+2），
∴k₂=(4k1(x1+2)(x2−5)−4k2(x2+2)(x1−5))/(16(x2−x1))=(7k1(x2−x1))/(4(x2−x1))=(7k1)/(4)
∴(k1)/(k2)=(4)/(7)