已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=22，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，试探究点O到直

Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=(√(2))/(2)，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为√(2)
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），焦距为2c，
∵e=(c)/(a)=(√(2))/(2)，且根据题意可知：点（c，(√(2))/(2)）在椭圆上，
∴(c2)/(a2)+((1)/(2))/(b2)=1，则(1)/(2)+((1)/(2))/(b2)=1，解得b=1，
∵a=√(2)c，且a²-c²=b²=1，则c=1，a=√(2)，
故椭圆方程为：(x2)/(2)+y²=1；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

(x2)/(2)+y2＝1

y＝kx+m

，消去y得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-(4km)/(2k2+1)，x₁x₂=(2m2−2)/(2k2+1)，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=(m2−2k2)/(2k2+1)，
因为

OP

⊥

OQ

，所以x₁x₂+y₁y₂=(2m2−2)/(2k2+1)+(m2−2k2)/(2k2+1)=(3m2−2k2−2)/(2k2+1)=0，（10分）
即3m²-2k²-2=0，所以m²=(2k2+2)/(3)，（11分）
设原点O到直线l的距离为d，则d=(|m|)/(√(k2+1))=√((m2)/(k2+1))=√(((2k2+2)/(3))/(k2+1))=(√(6))/(3)，（12分）
当直线l的斜率不存在时，因为

OP

⊥

OQ

，根据椭圆的对称性，
不妨设直线OP，OQ的方程分别为y=x，y=-x，
可得P（(√(6))/(3)，(√(6))/(3)），Q（(√(6))/(3)，-(√(6))/(3)）或P（-(√(6))/(3)，-(√(6))/(3)），Q（-(√(6))/(3)，(√(6))/(3)），
此时，原点O到直线l的距离仍为(√(6))/(3)，
综上，点O到直线l的距离为定值(√(6))/(3)．（14分）