关于椭圆的最值问题F1,F2是椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a＞b＞0）的左右焦点,点P为椭圆上的任意一点,求|PF1|*|PF2|的最大值与最小值.谢谢,我需要完整明晰的推理过程,最好有简便的方法.

Question

关于椭圆的最值问题
F1,F2是椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a＞b＞0）的左右焦点,点P为椭圆上的任意一点,求|PF1|*|PF2|的最大值与最小值.谢谢,我需要完整明晰的推理过程,最好有简便的方法.

Answer 1

设P(x0,y0),则x0∈[-a,a]
由焦半径公式：PF1=a+ex0,PF2=a-ex0
所以,|PF1|*|PF2|=a²-e²x0²
x0∈[-a,a],则：x0²∈[0,a²]
则：-e²x0²∈[-e²a²,0]
a²-e²x0²∈[a²-e²a²,a²]
a²-e²a²=a²-c²=b²
所以,a²-e²x0²∈[b²,a²]
即：|PF1|*|PF2|∈[b²,a²]