某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|xx2+1−a|+2a+23，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的

Question

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|(x)/(x2+1)−a|+2a+(2)/(3)，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，(1)/(2)]．
（1）令t＝(x)/(x2+1)，x∈[0，24]，直接写出t的取值范围；（可以不要写演算写过程）
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不超过2称为“环保达标”，试问a应控制在什么范围内才能“环保达标”？

Answer 1

（1）当x=0时，t=0；当0＜x≤24时，(1)/(t)=x+(1)/(x)．
对于函数y=x+(1)/(x)，∵y′=1-(1)/(x2)，
∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+(1)/(x)单调递减，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+(1)/(x)单调递增，
∴y∈[2，+∞）．
综上，t的取值范围是[0，(1)/(2)]；
（2）由（1）知t的取值范围是[0，(1)/(2)]；
当a∈（0，(1)/(2)]时，记g（t）=|t-a|+2a+(2)/(3)，则g（t）=

−t+3a+(2)/(3)，0≤t≤a

t+a+(2)/(3)，a＜t≤(1)/(2)

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，(1)/(2)]上单调递增，且g（0）=3a+(2)/(3)，g（(1)/(2)）=a+(7)/(6)，
∴g（0）-g（(1)/(2)）=2（a-(1)/(4)）．
故M（a）=

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