试阐述一元函数连续与可导的关系,适当举例说明

Question

试阐述一元函数连续与可导的关系,适当举例说明

Answer 1

可导一定连续,连续不一定可导,即可导是比连续更“强”的条件.连续函数但不可导的例子最常见就是f(x)=|x|,它在x=0处连续,但不可导,因为其左右导数不相等,从函数图像上来说,可导要求函数图像是“光滑”的,所以有“尖点”的函数是不可导的.可导一定连续这是一个定理,证明书上都有,这里只想给一个不严格但是有启发性的解释,函数在一点可导的定义是极限lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在,从极限的角度考虑,由于x-x0是无穷小量,如果上述极限存在,则分子也必须是无穷小量,即lim[f(x)-f(x0)]=0,而这正是函数f(x)在x0点连续的定义.对于这两个个命题,它们的逆否命题也是重要的,有利于加深理解,即不连续的函数一定不可导,不可导的函数有可能连续.