已知双曲线X^2－Y^2/2=1与点P(1,2）,过点P作直线L交双曲线于A、B两点,诺P为AB的中点.(1)求直AB的方程；(2)诺Q(1,1),证明不存在以Q为中心的弦.

Question

已知双曲线X^2－Y^2/2=1与点P(1,2）,过点P作直线L交双曲线于A、B两点,诺P为AB的中点.(1)求直AB的方程； (2)诺Q(1,1),证明不存在以Q为中心的弦.

Answer 1

1)由点差法求,
设直线y=k(x-1)+2
A(x1,y1)、B(x2,y2)
x2=2-x1,y2=4-x1
A、B在双曲线上,有
x1²-y1²/2=1……(1)
(2-x1)²-(4-y1)²/2=1……(2)
(1)-(2) 4x1+12=4y1 ===> y1=x1+3
代入(1)解得x1,y1即可得到直线方程.
2)假设直线存在,A(x1,y1)、B(x2,y2)
因Q(1,1)是A与B的中点
故x2=2-x1,y2=2-y1
又点A、B在双曲线上,则有
x1²-y1²/2=1……(1)
(2-x1)²-(2-y1)²/2=1……(2)
(1)-(2)得y1=2x1-1
代入(1),整理得2x1²-4x1+3=0,无解
说明不存在这样的弦.