（2012•浦东新区一模）定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．（1）设an=2n-1，bn＝(−12)n，n∈N*，判断{an}、{bn

Question

（2012•浦东新区一模）定义数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，bn＝(−(1)/(2))n，n∈N^*，判断{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p^-摆动数列”{c_n}满足c_n+1=(1)/(cn+1)，c₁=1，求常数p的值；
（3）设d_n=（-1）ⁿ•（2n-1），且数列{d_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

Answer 1

（1）假设数列{a_n}是“p-摆动数列”，
即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1时，则1＜p＜3，取n=2时，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{a_n}不是“p-摆动数列”；
由bn＝(−(1)/(2))n，于是bnbn+1＝(−(1)/(2))2n+1＜0对任意n成立，其中p=0．
所以数列{b_n}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{c_n}为“p-摆动数列”，又c₁=1，所以c2＝(1)/(2)，
即存在常数(1)/(2)＜p＜1，使对任意正整数n，总有（c_n+1-p）（c_n-p）＜0成立；
即有（c_n+2-p）（c_n+1-p）0，
所以c₁＞p⇒c₃＞p⇒…⇒c_2n-1＞p．
同理c₂＜p⇒c₄＜p⇒…⇒c_2n＜p．
所以c_2n＜p＜c_2n-1⇒(1)/(c2n−1+1)＜c2n−1，解得c2n−1＞(√(5)−1)/(2)，
即p≤(√(5)−1)/(2)．
同理(1)/(c2n+1)＞c2n，解得c2n＜(√(5)−1)/(2)，即p≥(√(5)−1)/(2)．
综上