如图所示，质量均为m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相栓接，将它们放在倾角为θ=30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x0．斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上．将质量也为m的物

Question

如图所示，质量均为m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相栓接，将它们放在倾角为θ=30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x₀．斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上．将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，A与B相碰．已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，当A与B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力恰好为零，求C对挡板D压力的最大值；
（3）若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，速度为碰前的一半，且当B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力也恰好为零．已知A与B相碰后弹簧第一次恢复原长时B的速度大小为v=√(1.5gx0)，求相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离．

Answer 1

（1）物体B静止时，弹簧形变量为x₀，弹簧的弹力F=kx₀，物体B受力如图所示，

由平衡条件得：kx₀=mgsinθ，解得，弹簧的劲度系数k=(mg)/(2x0)；
（2）A与B碰后一起做简谐运动到最高点时，物体C对挡板D的压力最小为0，
则对C，弹簧弹力：F_弹=mgsinθ，对A、B，回复力最大：F_回=3mgsinθ，
由简谐运动的对称性，可知A与B碰后一起做简谐运动到最低点时，回复力也最大，
即F_回=3mgsinθ，此时物体C对挡板D的压力最大，对物体A、B有：F_弹′-2mgsinθ=3mgsinθ，
则弹簧弹力：F_弹′=5mgsinθ，
对物体C，设挡板D对物体C的弹力为N，则：N=5mgsinθ+mgsinθ=3mg，
由牛顿第三定律可知，物体C对挡板D的压力大小：N′=N=3mg，
物体C对挡板D压力的最大值为3mg；
（3）设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B相碰前物体A速度的大小为v₁．
对物体A，从开始下滑到A、B相碰前的过程，由机械能守恒定律得：
mgxsinθ=(1)/(2)mv₁²，解得：v₁=√(gx)…①，
设A与B相碰后两物体共同速度的大小为v₂，A与B发生碰撞的过程动量守恒，
以碰前A的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv₁=（m+m）v₂，
解得：v₂=(1)/(2)v₁…②，
物体B静止时弹簧的形变量为x₀，设弹性势能为E_P，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，
由机械能守恒定律得：(1)/(2)（m+m）v₂²+E_P=(1)/(2)（m+m）v²+（m+m）gx₀sinθ…③，
当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设分离后物体A还能沿斜面上升的距离为x₁．
对物体A，从与B分离到最高点的过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：(1)/(2)mv²=mgx₁sinθ，
解得：x₁=1.5x₀，
对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为0，
物体C恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为x₀，弹簧的弹性势能也为E_P．从A、B分离到B运动到最高点的过程，
由机械能守恒定律得：(1)/(2)mv²=mgx₀sinθ+E_P，
解得：E_P=(1)/(4)mgx₀…④，
由①②③④解得：x=9x₀，
由几何关系可得，物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离：
d=x-x₁-x₀=6.5x₀．           
答：（1）弹簧的劲度系数k=(mg)/(2x0)；
（2）C对挡板D压力的最大值为3mg；
（3）碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离为6.5x₀．