如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1，（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x

Question

如图，设抛物线y²=2px（p>0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1，

（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=-1的距离，
由抛物线定义得，(p)/(2)=1，即p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y²=4x，F（1，0），可设（t²，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF不垂直y轴，
∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），
联立

y2=4x

x=sy+1

，得y²-4sy-4=0．
y₁y₂=-4，
∴B（(1)/(t2)，-(2)/(t)），
又直线AB的斜率为(2t)/(t2-1)，故直线FN的斜率为(t2-1)/(2t)，
从而得FN：y=-(t2-1)/(2t)(x-1)，直线BN：y=-(2)/(t)，
则N（(t2+3)/(t2-1)，-(2)/(t)），
设M（m，0），由A、M、N三点共线，得(2t)/(t2-m)=(2t+(2)/(t))/(t2-(t2+3)/(t2-1))，
于是m=(2t2)/(t2-1)=(2)/(1-(1)/(t2))，得m<0或m>2．
经检验，m<0或m>2满足题意．
∴点M的横坐标的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．