已知抛物线y=k（x+1）（x﹣3/k）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）怎么求点C的坐标呢

Question

已知抛物线y=k（x+1）（x﹣3/k）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC为等腰三
角形的抛物线的条数是（　　）　　　　怎么求点C的坐标呢

Answer 1

y=k（x+1）（x-3/ k ）=（x+1）（kx-3）,
所以,抛物线经过点A（-1,0）,C（0,-3）,
AC= [OA^2+OB^2]^(1/2) =[1^2+3^2 ]^(1/2) =10^(1/2),
点B坐标为（3/k ,0）,
①k＞0时,点B在x正半轴上,
I)若AC=BC,则[(3/k)^2+3^2]^(1/2) =10^(1/2) ,
解得k=3,
II)若AC=AB,则3 /k +1=10^(1/2) ,解得k=3/(10^(1/2)-1 ) ,
III)若AB=BC,则3/k +1= (3k)^2+3^2 ,解得k=3/4 ；
②k＜0时,点B在x轴的负半轴,点B只能在点A的左侧,
只有AC=AB,则-1-3 /k =10^（1/2） ,
解得k=-3 /(10^(1/2)+1)
综上所述,能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．
答：
令y=0,得：
k(x+1)(x-3/k）=0
x1=-1,x2=3/k
令A（-1,0）,B（3/k,0)
令x=0,y=-3
点C为（0,-3）
AC=√10
AB=|3/k+1|
BC=√(9+9/k^2)
（1）如果AC=AB：√10= |3/k+1|,解得：k=（1±√10）/3
（2）如果AC=BC：√10= √(9+9/k^2) ,解得：k= ±3.当k=-3时A与B重合,A、B、C无法组成三角形,故k=3.
（3）如果AB=BC：|3/k+1|= √(9+9/k^2) ,解得：3/4
综上所述,k有4种解,故满足题意的抛物线条数为4条.