21、设a＞0，a≠1，t＞0，比较12logat与logat+12的大小，并证明你的结论．

Question

21、设a＞0，a≠1，t＞0，比较(1)/(2)logat与loga(t+1)/(2)的大小，并证明你的结论．

Answer 1

当t＞0时，由基本不等式可得(t+1)/(2)≥√(t)，当且仅当t=1时取“=”号
∴t＝1时，loga(t+1)/(2)＝loga√(t)，即loga(t+1)/(2)＝(1)/(2)logat.
t≠1时，(t+1)/(2)＞√(t)
当0＜a＜1时，y=log_ax是单调减函数，∴loga(t+1)/(2)＜loga√(t)，即loga(t+1)/(2)＜(1)/(2)logat
当a＞1时，y=log_ax是单调增函数，∴loga(t+1)/(2)＞loga√(t)，即loga(t+1)/(2)＞(1)/(2)logat