已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠C=90°，点B1在底面上射影D落在BC上．（I）求证：AC⊥平面BB1C1C；（II）若AB1⊥BC1，且∠B1BC=60°，求证A1C∥平面AB1D．

Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，点B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若AB₁⊥BC₁，且∠B₁BC=60°，求证A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

（I）∵B₁D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C
（II）连接A₁B和AB₁，交于点E，

AB1⊥BC1

AC⊥BC1

AB1与AC相交

⇒

BC1⊥平面AB1C

B1C⊂平面AB1C

⇒BC1⊥B1C
∴四边形BB₁C₁C为菱形，
∵∠B₁BC=60°，B₁D⊥BC于D，
∴D为BC的中点，
在三角形A₁BC中，DE∥A₁C
∴A₁C∥平面AB₁D．