在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心．点P在棱CC1上，且CC1=4CP．（1）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；（2）求V锥P−ABD1．

Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心．点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（1）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；
（2）求V锥P−ABD1．

Answer 1

（1）证明：连接A₁C₁
∵正方体AC₁∴O为A₁C₁的中点∴D₁O⊥A₁C₁
又 A₁A⊥面A₁B₁C₁D₁∴A₁A⊥D₁O∴D₁O⊥面A₁ACC₁
AP⊂面A₁ACC₁∴D₁O⊥AP
由已知OH⊥面AD₁P∴OH⊥AP
∴AP⊥面D₁OH，又D₁H⊂面D₁OH
∴AP⊥D₁H（6分）
（2）在DD₁上取点Q，使DQ=1
∴DQ

∥

.

.

CP∴PQ

∥

.

.

CD
又CD

∥

.

.

AB∴PQ

∥

.

.

AB
AB⊂面ABD₁，PQ⊄面ABD₁
∴PQ∥面ABD₁
∴V锥P−ABD1＝VQ−ABD1＝VB−D1QA＝(1)/(3)•(1)/(2)•3•4•4＝8（12分）