数学问题一个级数判断敛散性时可以分开写成两个相加或相减吗?是所有级数都可以,还是分情况,如果是分情况,都有哪些?

Question

数学问题
一个级数判断敛散性时可以分开写成两个相加或相减吗?是所有级数都可以,还是分情况,如果是分情况,都有哪些?

Answer 1

若两个级数都是收敛的,则将两个通项相加减后得到的新级数,仍然还是收敛的.一个级数判断敛散性时可以分开写成两个相加或相减,当这两个都收敛时,原级数一定也是收敛的.凡是可以分开的都可以用这种方法.这种方法只适合于判断级数收敛,不能用于判断级数发散.
但是有一点要注意,那就是两个发散的级数通项相加或相减后得到的新级数也可能是收敛的.当然,一个收敛的级数分成两个级数相加或相减后,所得到的两个新的级数也可能都发散.
大家回答各有千秋,有些问题还要呈请一下：
1）绝对收敛的级数任意组合,重排之后还是绝对收敛的,且和不变.但条件收敛的级数不具有这样的性质.这就是为什么在概率论中在定义随机变量的数学期望时,要求相应的级数是绝对收敛的原因,数学期望实际上是随机变量的平均值,不能因为求和的顺序变了,平均也跟着变了.
2）收敛的级数+收敛的级数＝收敛的级数；发散的级数+发散的级数＝敛散性不确定,可能收敛,也可能发散；收敛的级数+发散的级数＝发散的级数.