一个圆柱形容器罐,质量为M,高度为H,里面装了同样质量为M的汽水,在容器罐底部挖一个孔使得水流出,问水流到什么时候整体的重心离地高度h最低?

Question

一个圆柱形容器罐,质量为M,高度为H,里面装了同样质量为M的汽水,在容器罐底部
挖一个孔使得水流出,问水流到什么时候整体的重心离地高度h最低?

Answer 1

设圆柱形容器罐直立,存水液面距地高度为x,则水的重心高度为 x/2,剩余水量M*x/H
设罐和水的整体重心高度为y,则有：
y = [M*H/2 + M*(x/H)*(x/2)]/[M+M*(x/H)]
= (x² + H²)/[2(x+H)]
y‘ = 1/2 * [2x*(x+H) - (x² + H²)]/(x+H)²
= (x² +2xH - H²)/[2(x+H)²]
令 y’=0,解得 x = (√2 -1)H；易验证该点为极小值点.
因此当水流到液面距地高度为(√2 -1)H 时重心最低.