（2011•永安市质检）（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋

Question

（2011•永安市质检）（1）请阅读材料并填空：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√(3)，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．
根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=______°，等边△ABC的边长为

√(7)

√(7)

．
（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√(5)，BP=√(2)，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

Answer 1

（1）∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=√(3)，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=√(3)，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′²+PP′²=AP²，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM=(√(3))/(2)，
由勾股定理得：P′M=(3)/(2)，
∴AM=1+(3)/(2)=(5)/(2)，
由勾股定理得：AB=√(AM2+BM2)=√(7)，
过答案为：150°，√(7)．

（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=

作业帮用户 2017-09-19 举报

问题解析

根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=√(3)，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=√(3)，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=(√(3))/(2)，P′M=(3)/(2)，根据勾股定理即可求出答案；
（2）求出∠BEP=(1)/(2)（180°-90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

名师点评

本题考点：

等边三角形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．

考点点评：

本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．

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