已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．

Question

已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．

Answer 1

BD=CD．
证明：作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，
∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，
∴四边形AEBC是正方形，
∵∠DAC=30°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AC，
∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEB=30°，
在△ADC和△EDB中，

AD=ED

∠DAC=∠DEB=30°

AC=BE

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BD=CD．