数学不等式证明题图应该看得清吧

Question

数学不等式证明题
图应该看得清吧

Answer 1

1.由柯西不等式：
(y+z+z+x+x+y)(x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y))>=(x+y+z)^2
上式整理得：x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)>=(x+y+z)/2
再由均值不等式x+y+z>=3*三次根号(xyz)=3
所以x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)>=(x+y+z)/2>=3/2
所以x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)最小值为3/2,当x=y=z=1的时候取到.
2.证明：
先考虑证明：
x/(x+1)-1/4