f(x)=（1+cosx+cos2x+cos3x）/(1-cosx-2cosx的平方) 当sinθ+2cosθ=2时,求f(θ)

Question

f(x)=（1+cosx+cos2x+cos3x）/(1-cosx-2cosx的平方) 当sinθ+2cosθ=2时,求f(θ)

Answer 1

f(x)=(1+cosx+cos2x+cos3x)/(1-cosx-2cos²x)
=[(1+cos2x)+(cosx+cos3x)]/(-cosx+1-2cos²x)
=(2cos²x+2cos2xcosx)/(-cosx-cos2x)
= -2cosx(cosx+cos2x)/(cosx+cos2x)
= -2cosx,(cosx+cos2x≠0)
由sinθ+2cosθ=2得sinθ=2(1-cosθ),
结合sin²θ+cos²θ=1,不难求得cosθ=1,或cosθ=3/5,且都符合题意,
而f(θ)= -2cosθ,所以f(θ)= -2或f(θ)= -6/5.
注：cosx+cos3x=2cos2xcosx用的是和化积公式,
相当于cosx+cos3x=cos(2x-x)+cos(2x+x),再用两角和与差的余弦公式而得.