a,b,c,d为实数,x^2+ax+b=0,x^2+cx+d=0的根的模都小于1,证明x^2+1/2(a+c)x+1/2(b+d)=0根的模也都小于1设s1,s2为第一个方程的两根t1,t2为第二个方程的两根,u,v为要证明方程的两个根那么由韦达理有|s1*s2|=|b|<

Question

a,b,c,d为实数,x^2+ax+b=0,x^2+cx+d=0的根的模都小于1,证明x^2+1/2(a+c)x+1/2(b+d)=0根的模也都小于1
设s1,s2为第一个方程的两根
t1,t2为第二个方程的两根,
u,v为要证明方程的两个根
那么由韦达理有
|s1*s2| = |b| < 1
|t1*t2| = |d| < 1
所以|uv| =|1/2(b+d)| <=1/2(|b|+|d|)<1
所以|u| 和 |v|都得小于1
但我有个问题,|uv|<1好像不能说明他们都小于1

Answer 1

这个题不能正面来解,但是反过来我们假设x^2+1/2(a+c)x+1/2(b+d)=0,它如果存在模大于等于1的根T,有
T^2+1/2(a+c)T+1/2(b+d)=0
(T^2+aT+b)+(T^2+cT+d)=0
但是,又因为x^2+ax+b=0,x^2+cx+d=0的根的模都小于1,因此T^2+aT+b>0且T^2+cT+d>0
于是又有(T^2+aT+b)+(T^2+cT+d)>0,矛盾出现,所以x^2+1/2(a+c)x+1/2(b+d)=0不存在模大于等于1的根,当然它的根的模就只能小于1