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如何证明任何有理数的平方不是5
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如何证明任何有理数的平方不是5
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答案和解析
有理数可以表示成两个整除相除的形式,且可以经过有限次的约分成为一个最简分数,即分子分母互质
假设最简p/q的平方等于5,即p,q互质
则(p/q)^2=5
p^2=5q^2
所以p^2是5的倍数,所以p是5的倍数
假设p=5n
则(5n)^2=5q^2
q^2=5n^2
所以q^2是5的倍数,所以q是5的倍数
所以pq都可以被5整除,这和p,q互质矛盾
所以任何有理数的平方都不是5.
假设最简p/q的平方等于5,即p,q互质
则(p/q)^2=5
p^2=5q^2
所以p^2是5的倍数,所以p是5的倍数
假设p=5n
则(5n)^2=5q^2
q^2=5n^2
所以q^2是5的倍数,所以q是5的倍数
所以pq都可以被5整除,这和p,q互质矛盾
所以任何有理数的平方都不是5.
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