如图所示，光滑轨道由三段连接而成，AB是与水平面成θ角的斜轨道，CD是竖直平面半径为R的半圆形轨道，BC是长为5R的水平轨道．现有一可视为质点的滑块由斜轨道AB上某处滑下，沿轨道通过

Question

如图所示，光滑轨道由三段连接而成，AB是与水平面成θ角的斜轨道，CD是竖直平面半径为R的半圆形轨道，BC是长为5R的水平轨道．现有一可视为质点的滑块由斜轨道AB上某处滑下，沿轨道通过最高点D后水平抛出，恰好垂直撞到斜轨道AB上的E点，且速度大小为v，不计空气阻力，已知重力加速度为g．
（题中所给字母θ、R、v、g均为已知量）求：
（1）按题中运动，滑块经过D、E处的速度大小之比； 
（2）斜轨道上E点到B点的距离；
（3）为了保证小球能通过圆形轨道的最高点D，且要求通过圆形轨道最高点D时物体对D点轨道的压力不超过物体自重的4倍．若按此要求，求滑块平抛后落至水平轨道BC上的范围．

Answer 1

（1）垂直撞到斜轨道上的E点，将速度v 分解（如图）：

由三角函数关系：V_D：V_E=sinθ
（2）由第（1）题中速度v 分解图得：
V_y=Vcosθ
从最高点D到E的竖直高度：hDE＝(V2y)/(2g)
则：斜轨道上E到B的竖直高度为：
h_EB=2R-h_DE
斜轨道上E点到B点的距离位；
SEB＝(2R−V2cos2θ)/(2g).(1)/(sinθ)
（3）恰好过竖直平面半圆形轨道最高点D时：
由向心力方程  mg=mv₁²/R
当通过轨道最高点D时对轨道的压力为物体自重的4倍时
由向心力方程  mg+4mg=mv₂²/R
按题中要求，滑块通过最高点D的速度范围是
√(gr)≤V√(5gR)
又x=vt
综上所述：滑块落在水平轨道BC上，距C点距离范围：2R≤x≤2√(5)R
答：（1）按题中运动，滑块经过D、E处的速度大小之比V_D：V_E=sinθ；
（2）斜轨道上E点到B点的距离SEB＝(2R−V2cos2θ)/(2g).(1)/(sinθ)；
（3）平抛后落至水平轨道BC上的范围2R≤x≤2√(5)R．