正方体中,为的中点.（Ⅰ）请确定面与面的交线的位置,并说明理由;（Ⅱ）请在上确定一点,使得面面,并说明理由;(Ⅲ)求二面角的正切值.

Question

正方体 中, 为 的中点.

（Ⅰ）请确定面 与面 的交线的位置,并说明理由;
（Ⅱ）请在 上确定一点 ,使得面 面 ,并说明理由;
(Ⅲ) 求二面角 的正切值.

Answer 1

正方体 中, 为 的中点.

（Ⅰ）请确定面 与面 的交线的位置,并说明理由;
（Ⅱ）请在 上确定一点 ,使得面 面 ,并说明理由;
(Ⅲ) 求二面角 的正切值.

(1)取AB的中点M,交线为MF  
(2)E为 的中点  
(3)

本试题主要是考查了立体几何中面面的位置关系，以及面垂直的证明和二面角的求解的综合运用。
（1）根据已知条件可知只要找到两个平面的两个公共点即可得到结论。
（2）假设存在点E，满足题意，利用面面垂直的关系得到点的坐标。
（3）建立空间直角坐标系，表示点和向量，然后运用法向量的夹角来求解二面角的平面角的大小。