如图，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB与平面ABCD所成的角为30°，PB与平面PCD所成的角为45°，求：(1)PB与CD所成角的大小；(2)二面角C-PB-D的大小．

Question

如图，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB与平面ABCD所成的角为30°，PB与平面PCD所成的角为45°，求：
(1)PB与CD所成角的大小；
(2)二面角C-PB-D的大小．

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Answer 1

【分析】(1)以D为原点，以DA，DC，DP方向，分别作x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，分别求出PB与CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到PB与CD所成角的大小；
\n(2)分别求出平面PBC与平面PBD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C-PB-D的大小．

由题意，可知PD=CD=1，BC=.
\n以D为原点，以DA，DC，DP方向，分别作x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，
\n则C(0，1，0)，B(，1，0)，P(0，0，1)．
\n(1)由题得，=(0，1，0)，=(，1，-1)，
\n则cos，>==，即PB与CD所成的角为60°；
\n(2)由题知：=(0，1，-1).
\n设=(x，y，z)是平面PBC的一个法向量，
\n由•=0，•=0，得y=z，x=0.
\n令y=z=1，得=(0，1，1)．
\n同理可求得平面PBD的一个法向量为=(1，-，0)，
\n则cos，>==.
\n因为二面角C-PB-D为锐二面角，
\n所以二面角C-PB-D为arccos.

【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，二面角的平面角及其求法，其中建立空间坐标系将线线夹角及面面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．解答中易忽略二面角C-PB-D为锐二面角，而错解为二面角C-PB-D为arccos(-)．