如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．

Question

如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由D、E分别为AB、AC中点，得DE∥BC ．可得DE∥平面PBC    
（Ⅱ）连结PD，由PA=PB，得PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB，推出DE ⊥ AB．
AB⊥平面PDE，得到AB⊥PE ．
（Ⅲ）证得PD 平面ABC 。
以D为原点建立空间直角坐标系。
二面角的A－PB－E的大小为 ．

试题分析：（Ⅰ）D、E分别为AB、AC中点，DE∥BC ．
DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，∴DE∥平面PBC    
（Ⅱ）连结PD， PA=PB，  PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB，  DE ⊥ AB．又 AB⊥平面PDE，PEÌ平面PDE， AB⊥PE ．                      6分
（Ⅲ）平面PAB 平面ABC，平面PAB 平面ABC=AB，PD  AB，
 PD 平面ABC．           7分
如图，以D为原点建立空间直角坐标系

B(1,0,0)，P(0,0, )，E(0, ,0) ,
 =(1,0,  )，  ="(0," , ）．
设平面PBE的法向量 ，
令      得 ．
DE⊥平面PAB， 平面PAB的法向量为 ．
设二面角的A－PB－E大小为
由图知， ， ，
二面角的A－PB－E的大小为 ．
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题利用空间向量，简化了证明及计算过程。