直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）若P为A1B1的中点，求证：DP∥平面ACB1．

Question

直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．

（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若P为A₁B₁的中点，求证：DP∥平面ACB₁．

Answer 1

证明：（1）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵∠BAD=∠ADC=90°，
AB=2AD=2CD=2，
∴AC=√(2)，∴BC=√(2)，∴BC⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．
（2）由P为A₁B₁的中点，知PB₁∥AB，
且PB1＝(1)/(2)AB，
∵DC∥AB，DC=(1)/(2)AB，
∴DC∥PB₁，且DC=PB₁，
∴DCB₁P为平行四边形，从而CB₁∥DP，
∵CB₁⊂面ACB₁，DP⊄面ACB₁，
∴DP∥面ACB₁．