如图所示，多面体ABC-A1B1C1是由直棱柱被平面A1B1C1而成．其中AA1=4，BB1=2，CC1=3，AB与BC垂直，AB=BC=1（1）在A1B1上是否存在一点D1，使得C1D1平行于平面ABC．（2）求二面角B1-A1C1-A的大小．（3）求该

Question

如图所示，多面体ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成．其中AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，AB与BC垂直，AB=BC=1
（1）在A₁B₁上是否存在一点D₁，使得C₁D₁平行于平面ABC．
（2）求二面角B₁-A₁C₁-A的大小．
（3）求该多面体的体积．

Answer 1

（1）A₁B₁上存在一点D₁，满足D₁为A₁B₁的中点，使得C₁D₁平行于平面ABC．
D₁为A₁B₁的中点，取AB 的中点D，连接DD₁，C₁D₁，
∵多面体ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
∵AA₁=4，BB₁=2，D₁为A₁B₁的中点，取AB 的中点D，
∴DD₁∥CC₁，且DD₁=CC₁=3
∴四边形CDD₁C₁为平行四边形
∴D₁C₁∥DC
∵D₁C₁⊄平面ABC，DC⊂平面ABC
∴C₁D₁∥平面ABC．
（2）过B₁点作AA₁，CC₁的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则B₁O⊥平面C₁A₁B₁，
∵AB与BC垂直，AB=BC=1
∴EB₁=FB₁=1，EF=√(2)
∵OB₁=(√(2))/(2)，
∵AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
∴C₁F=1
∴A₁B₁=√(5)，B₁C₁=√(2)，A₁C₁=√(3)
∴△A₁B₁C₁为直角三角形，
∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∵B₁O⊥平面C₁A₁B₁，
∴OC₁⊥平面C₁A₁B₁，
∴∠OC₁B₁为二面角B₁-A₁C₁-A的平面角
∵sin∠OC₁B₁=(OB1)/(B1C1)=

作业帮用户 2017-09-19

问题解析

（1）A₁B₁上存在一点D₁，满足D₁为A₁B₁的中点，使得C₁D₁平行于平面ABC．根据线面平行的判定可以证明．
（2）过B₁点作AA₁，CC₁的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则△OC₁A₁为△C₁A₁，B₁的射影，分别求出面积，利用公式可求；
（3）多面体的体积为VABC−A1B1C1+VB1−EFC1A1，分别计算，即可求得．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法；组合几何体的面积、体积问题；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题重点考查线面平行，面面角，考查多面体的体积，解题的关键是用好线面平行的判定，确定射影面积，及分割法求多面体的体积，综合性强，难度大．

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