在三角形ABC中角ACB为90度,AC=BC,AD是DC边中线CE垂直AD于E,CE的延长线交AB于F求（1）AE比DE的值（2)tan角BAD的值

Question

在三角形ABC中角ACB为90度,AC=BC,AD是DC边中线CE垂直AD于E,CE的延长线交AB于F
求（1）AE比DE的值（2)tan角BAD的值

Answer 1

第一个问题：
方法一
∵AC⊥CD、CE⊥AD,∴∠CAE＝∠DCE.［同是∠ADC的余角］
∴△ACE∽△CDE,∴△ACE的面积/△CDE的面积＝（AC/AD）^2.
又AC＝BC、CD＝BC/2,∴AC＝2CD,∴△ACE的面积/△CDE的面积＝4.
∵△ACE的面积＝（1/2）AE×CE、△CDE的面积＝（1/2）DE×CE,∴AE/DE＝4.
方法二
∵△ACE、△CDE是等高三角形,∴△ACE的面积/△CDE的面积＝AE/DE.
∵△ACE的面积＝（1/2）AC×CEsin∠ACE、△CDE的面积＝（1/2）CD×CEsin∠DCE,
∴（ACsin∠ACE）/（CDsin∠DCE）＝AE/DE.
∵AC＝BC、CD＝BC/2,∴AC＝2CD,∴2sin∠ACE/sin∠DCE＝AE/DE.
而∠ACE＋∠DCE＝90°、∠ACE＋∠CAD＝90°,
∴sin∠DCE＝cos∠ACE＝sin∠CAD、sin∠ACE＝cos∠CAD,
∴2cos∠CAD/sin∠CAD＝AE/DE,∴2tan∠CAD＝AE/DE,∴2AC/CD＝AE/DE,∴AE/DE＝4.
第二个问题：
方法一
过B作BG⊥AD交AD的延长线于G.
∵∠CED＝∠BGD＝90°、∠CDE＝∠BDG、CD＝BD,∴△CDE≌△BDG,
∴CE＝BG、DE＝DG.
∵AE/DE＝4,∴AE＝4DE,∴AG＝AE＋DE＋DG＝4DE＋DE＋DE＝6DE.
∵CE^2＝AE×DE＝4DE×DE,∴CE＝2DE,∴BG＝2DE.
∴tan∠BAD＝BG/AG＝2DE/（6DE）＝1/3.
方法二
∵AC＝BC、∠ACB＝90°,∴∠BAC＝45°,∴tan∠BAC＝1,又tan∠CAD＝CD/AC＝1/2,
∴tan∠BAD＝tan（∠BAC－∠CAD）
＝（tan∠BAC－tan∠CAD）/（1＋tan∠BACtan∠CAD）＝（1－1/2）/（1＋1/2）＝1/3.