三角形abc中,ac=cb,角acb=90度,d是ac一点且ae垂直bd的延长线于e,又ae=0.5bd求证：bd是角abc的平分线

Question

三角形abc中,ac=cb,角acb=90度,d是ac一点且ae垂直bd的延长线于e,又ae=0.5bd
求证：bd是角abc的平分线

Answer 1

证明：设BC=x,AD=y,ED=z.则AB=(√2)x,CD=x-y.
在△ABE中,由勾股定理得：1+[（z+2)^2]=2x^2----------(1)
在△ADE中,由勾股定理得：1+z^2=y^2------------------(2)
由△ADE∽△BDC得：1/x=y/2=z/(x-y)
即：xy=2,2z=xy-(y^2).
所以：y^2=2-2z--------------------------------------(3)
由（2）和（3）两式得：1+（z^2)=2=2z,
解得：z=(√2)-1
将z=(√2）-1代入（2）式得：y=√(4-2√2)
将z=(√2）-1,y=√(4-2√2)代入y/2=z/(x-y)中得一关于x-y的方程,
解之得:x-y=2[(√2)-1]/√(4-2√2)
所以：y/(x-y)=√2
即：AD/DC=√2
而AB/BC=√2
所以：AD/DC=AB/BC
即：BD平分∠ABC.也就是说BD是∠ABC的平分线.