证明球冠体积公式V=h^2*(R-h/3),R为球的半径,h为球冠的高

Question

证明球冠体积公式V=h^2*(R-h/3),R为球的半径,h为球冠的高

Answer 1

建立直角坐标系,再做一个圆心在原点的半径为R的圆
再过A（R-h,0）点做X轴的垂线L,则将L右边与圆弧围成的图形绕X轴旋转一圈即可得到高为h的球冠
则由定积分知识可得：体积V即为X∈﹙R-h,R﹚时π*（R^2-X^2）定积分
π*（R^2-X^2）的不定积分易求得为 F（X）=π*R^2*X-1/3*π*X^3+C （C为任意常数）
体积V即为X∈﹙R-h,R﹚时π*（R^2-X^2）定积分,也即为F（R）-F（R-h）=h^2*(R-h/3)