如图,三角形ABC中,角ACB=90度,以AC为一边在三角形ABC作等边三角形ACD,过点D作DE垂直于AC,垂足为F,DE

Question

如图,三角形ABC中,角ACB=90度,以AC为一边在三角形ABC作等边三角形ACD,过点D作DE垂直于AC,垂足为F,DE

Answer 1

（1）根据题意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出出EF∥BC,再由点F是AC的中点可得出点E是斜边AB的中点,继而利用直角三角形的斜边中线的性质可得出所证得结论．
（2）根据轴对称求最短路径的知识可得,点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置,结合图形及（1）可得点P的位置即是点E的位置,从而可求出此时△PBC的周长．（1）∵DE⊥AC,∠ACB=90°,
∴EF∥BC,
又∵ADC是等腰三角形,
∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质）,
∴EF是△ABC的中位线,即可得点E是斜边AB的中点,
∴在RT△ABC中可得,AE=CE=BE；
（2）∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=15cm,BC=9cm,
∴AC= AB2-BC2= 152-92=12,
∵AD=CD=10cm,DE⊥AC,
∴F是AC的中点,
∴EF= 12BC= 12×9=4.5,AF= 12AC= 12×12=6,
∴DF= AD2-AF2= 102-62=8,
∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm,
根据轴对称求最短路径的知识,可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小,也即△PBC的周长最小,
此时PB=PC= 12AB= 152,即DP=DE=12.5cm时,△PBC的周长最小,
∴△PBC的最小周长=PB+PC+BC=15+9=24cm．点评：本题考查利用轴对称求最短路径的知识,与实际结合的比较紧,有一定的综合性,解答本题（2）的关键是利用轴对称的性质确定点P的位置．