在三角形ABC中,AC垂直并等于BC,D是BC中点,CF垂直AD,BF平行AC,求AB垂直平分DF

Question

在三角形ABC中,AC垂直并等于BC,D是BC中点,CF垂直AD,BF平行AC,求AB垂直平分DF

Answer 1

我猜想是CE垂直于AD,属于LZ笔误,如果我猜想正确的话,下面给出2种证明方法
方法1：纯平面几何证法
∵AC＝BC,
∴CAB＝CBA
∵BF‖AC
∴∠CAB＝ABF
∴CBA＝ABF
∵A＝45度
∴CBA＝ABF＝45度
∴CBA＋ABF＝90度＝ACB
又∵CDE∽ADC
∴CAD＝FCB
∴ACD≌CBF
∴CD＝BF＝BD
证出BF＝BD,CBA＝ABF,还有一公共边,可知BDX≌BFX（X为BA,DF交点）
∴AB垂直平分DF
方法2：解析几何证法
以C为原点(0,0),CA为X轴,CB为Y轴建立平面直角坐标系
设A坐标为（2a,0） 由|AB|=|AC| 可知B坐标为(0,2a) D为AC中点,则D坐标为(0,a)
a 为常数
AD方程为 X+2Y-2a=0 (由它过A且过D,截距式式轻松得到此方程)
BF方程为 Y=2a (与X轴平行的方程就是Y=常数,它过已知点B,所以得到这个方程)
CF方程为 2X-Y=0 (易知AD斜率,与AD垂直,可得到它的斜率,又过原点,所以得到)
将BF,CF 方程联立,可得到F的坐标为(a,2a)
因为B坐标为(0,2a)所以|BF|=a
由A坐标为(2a,0) C坐标为(0,0) 所以|AC|=2a
所以|AC|=2|BF|