一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D为A1B1的中点）（Ⅰ）求证：C1D⊥平面ABB1A1（Ⅱ）当点F在棱BB1上的什么位置时，有AB1⊥平面C1DF，请证明你的结论（Ⅲ）

Question

一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D为A ₁ B ₁ 的中点）
（Ⅰ）求证：C ₁ D⊥平面ABB ₁ A ₁
（Ⅱ）当点F在棱BB ₁ 上的什么位置时，有AB ₁ ⊥平面C ₁ DF，请证明你的结论
（Ⅲ）对（2）中确定的点F，求三棱锥B ₁ -C ₁ DF的体积．

Answer 1

分析：
Ⅰ．直三棱柱的直观图及三视图如图所示，证线面垂直，需证线线垂直，可根据三棱柱的面的关系来证明．Ⅱ．证点F在棱BB1上的什么位置时，有AB1⊥平面C1DF，根据图形性质找点，逆推一下即可．Ⅲ．根据三视图提供数据，找出高和底面，求出体积即可．

证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1，∠A1C1B1=π2，棱AA1⊥平面A1B1C1，AA1=2，A1C1=B1C1=1，A1B1=2Ⅰ．∵D为A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，∵AA1⊥平面A1B1C1C1D?平面A1B1C1，∴C1D⊥AA1，AA1∩A1B1=A1，∴C1D⊥平面ABB1A1Ⅱ．当点F在棱BB1上的中点时，有AB1⊥平面C1DF证明：连接DF，A1B，∴DF||A1B，∵AA1=A1B1=2，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，∴AB1⊥DF，由Ⅰ知C1D⊥A1B，DF∩C1D=D∴AB1⊥平面C1DFⅢ．设AB1∩DF=G，B1G为三棱锥B1-C1DF的高，B1G=12，（12分）可求得S△C1DF=24，体积V=224
点评：
本题考查学生三视图定数据，考查空间想象能力，以及空间线面关系的证明与运用，是中档题．