已知：等腰直角三角形ABC中,AB=AC,D是AC的中点,过A作AE⊥BD交BC与点E,垂足为F,连接DE.求证：∠ADB=∠CDE

Question

已知：等腰直角三角形ABC中,AB=AC,D是AC的中点,过A作AE⊥BD交BC与点E,垂足为F,连接DE.
求证：∠ADB=∠CDE

Answer 1

分析：∵∠ADB是Rt△ABD的内角,也是Rt△ADF的内角,则∠CDE也应在某个直角三角形中,由此可联想作辅助线,过点C作CG⊥AC交AE延长线于G,由条件可得Rt△ABD≌Rt△CAG,△CDE≌△CGE,则∠ADB=∠G,∠G=∠CDE,∴∠ADB=∠CDE
证明：过点C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵BA⊥AC,CG⊥AC
∴CG‖AB
∴∠ABC=∠BCG（两直线平行,内错角相等）
∵∠BAD=90°,AF⊥BD
∴∠ABD=∠CAG（同角的余角相等）
在Rt△ABD与Rt△CAG中
∴∠ABD＝∠CAG
AB=CA
∠BAD=∠ACG
∴Rt△ABD≌Rt△CAG（ASA）
∴AD=CG（全等三角形对应边相等）
∠ADB=∠CGA（全等三角形对应角相等）
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴∠ACB=∠BCG（等量代换）
∵AD=DC,AD=CG
∴CD=CG（等量代换）
在△DCE与△GCE中
CD=CG
∠BCE=∠GCE
CE=CE
∴△CDE≌△CGE（SAS）
∴∠CDE=∠CGE（全等三角形对应角相等）
∴∠ADB=∠CDE（等量代换）