探索与研究：原题再现：如图，圆柱形木块的高为8，底面半径为2，下底面A点处有一蚂蚁，想吃到上底面相对的B点处的食物，需沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？（原题不须解答．以下π

Question

探索与研究：
原题再现：如图，圆柱形木块的高为8，底面半径为2，下底面A点处有一蚂蚁，想吃到上底面相对的B点处的食物，需沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？（原题不须解答．以下π均取近似值3）
（1）思考：沿圆柱表面爬行一定是沿侧面爬行吗？若沿A→C→B爬行，则路程是______；
（2）继续思考：是否一定是沿侧面爬行的路径最短呢？若圆柱的高为5，底面半径为4，试通过计算比较沿侧面爬行路程，l₁与沿A→C→B爬行路程l₂的长短；
（3）深入思考：若设圆柱的高为h，底面半径为r，试研究r与h的关系对两种路径长短的影响．

Answer 1

解；（1）不一定，
若沿A→C→B爬行，则路程是8+2+2=12；
故答案为：12；

（2）∵展开图的边长为：π×4≈12和5，
∴l₁=√(52+122)=13，l₂=5+4+4=13，
∴两种路径一样长；

（3）l₁=√(h2+(3r)2)=√(h2+9r2)，
l₂=h+2r，
①当l₁=l₂时，两种路径相同，
∴h+2r=√(h2+9r2)，
两边平方并整理得出：5r²=4hr，即r=(4)/(5)h；
②当l₁＞l₂时，路径A→C→B最短，
∴√(h2+9r2)＞h+2r，
∴5r＞4h，即r＞(4)/(5)h；
③当l₁＜l₂时，沿侧面爬行路途最短，
∴√(h2+9r2)＜h+2r，
∴5r＜4h，即r＜(4)/(5)h．