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探索与研究:原题再现:如图,圆柱形木块的高为8,底面半径为2,下底面A点处有一蚂蚁,想吃到上底面相对的B点处的食物,需沿圆柱表面爬行的最短路程是多少?(原题不须解答.以下π

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探索与研究:
原题再现:如图,圆柱形木块的高为8,底面半径为2,下底面A点处有一蚂蚁,想吃到上底面相对的B点处的食物,需沿圆柱表面爬行的最短路程是多少?(原题不须解答.以下π均取近似值3)
(1)思考:沿圆柱表面爬行一定是沿侧面爬行吗?若沿A→C→B爬行,则路程是______;
(2)继续思考:是否一定是沿侧面爬行的路径最短呢?若圆柱的高为5,底面半径为4,试通过计算比较沿侧面爬行路程,l1与沿A→C→B爬行路程l2的长短;
(3)深入思考:若设圆柱的高为h,底面半径为r,试研究r与h的关系对两种路径长短的影响.
▼优质解答
答案和解析
解;(1)不一定,
若沿A→C→B爬行,则路程是8+2+2=12;
故答案为:12;

(2)∵展开图的边长为:π×4≈12和5,
∴l1=
52+122
=13,l2=5+4+4=13,
∴两种路径一样长;

(3)l1=
h2+(3r)2
=
h2+9r2

l2=h+2r,
①当l1=l2时,两种路径相同,
∴h+2r=
h2+9r2

两边平方并整理得出:5r2=4hr,即r=
4
5
h;
②当l1>l2时,路径A→C→B最短,
h2+9r2
>h+2r,
∴5r>4h,即r>
4
5
h;
③当l1<l2时,沿侧面爬行路途最短,
h2+9r2
<h+2r,
∴5r<4h,即r<
4
5
h.
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