如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线．（1）求证：OB⊥AC；（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2．求三棱锥A-BOC的体积．

Question

如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线．
（1）求证：OB⊥AC；
（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2．求三棱锥A-BOC的体积．

Answer 1

（1）连结OB，
∵BC是下底面的一条切线，
圆的切线性质有OB⊥BC，
又∵AB是圆柱的一条母线，
∴AB⊥底面⊙O，
又OB⊂底面⊙O，
∴AB⊥OB，
又∵AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，
∴OB⊥平面ABC，
又∵AC⊂平面ABC，
∴OB⊥AC．
（2）在Rt△OAB中，OA=2，OB=1，
∴AB=√(3)．
又∵AB⊥底面⊙O，
∴∠ACB就是AC与底面⊙O所成角，
∵∠ACB=30°，
∴BC=3，AC=2√(3)，
∴VA−BOC＝(1)/(3)AB×S△BOC＝(1)/(6)AB×OB×BC＝(√(3))/(2)．