请问正多面体的棱数,角度等怎么求?拜托了!

Question

请问正多面体的棱数,角度等怎么求?
拜托了!

Answer 1

其实,正多面体只有五种,可能你还不知道.
分别是,正四、六、八、十二、二十面体.
要是证明,得用到欧拉公式,如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E,那么V+F-E=2.
设正多面体的每个面是正n边行,每个顶点是m条棱,于是,棱数E应是F（面数）与n的积的一半,即
Nf=2E -------------- 1式
同时,E应是V（顶点数）与M的积的一半,即
mV=2E -------------- 2式
由1式、2式,得
F=2E/n, V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2,
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数,所以1/E>0.因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立.另一方面,由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知,m>=3且n>=3.因此m和n至少有一个等于3
当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
至于,你问的角度,5种正多面体的面分别是正三角形,正方形,正三角形,正五边形,正三角形.度数也就知道了吧!
建议参考一下链接,证明更易看!