(2009•连云港二模)一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数mn,那么积m•n是.
(2009•连云港二模)一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积m•n是______.
答案和解析
设六面体与八面体的内切球半径分别为r
1与r
2,
再设六面体中的正三棱锥A-BCD的高为h
1,
八面体中的正四棱锥M-NPQR的高为h
2,如图所示

则h
1=
a,h2=a.
∵V正六面体=2•h1•S△BCD=6•r1•S△ABC,∴r1=h1=a.
又∵V正八面体=2•h2•S正方形NPQR=8•r2•S△MNP,
a3=2r2a2,r2=
- 问题解析
- 画出正六面体、正八面体及内切球,设出半径r1与r2,
利用体积求出两个半径的比,然后得到m•n.
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 简单组合体的结构特征.
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- 考点点评:
- 本题考查简单几何体的结构特征,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是难题.

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