（2009•连云港二模）一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数mn，那么积m•n是．

Question

（2009•连云港二模）一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数(m)/(n)，那么积m•n是______．

Answer 1

设六面体与八面体的内切球半径分别为r₁与r₂，
再设六面体中的正三棱锥A-BCD的高为h₁，
八面体中的正四棱锥M-NPQR的高为h₂，如图所示

则h₁=(√(6))/(3)a，h₂=_(√(2))/(2)a．
∵V_正六面体=2•(1)/(3)h₁•S_△BCD=6•(1)/(3)r₁•S_△ABC，∴r₁=(1)/(3)h₁=_(√(6))/(9)a．
又∵V_正八面体=2•(1)/(3)h₂•S_{正方形NPQR}=8•(1)/(3)r₂•S_△MNP，
√(3)a³=2√(3)r₂a²，r₂=

作业帮用户 2016-11-24

问题解析

画出正六面体、正八面体及内切球，设出半径r₁与r₂，
利用体积求出两个半径的比，然后得到m•n．

名师点评

本题考点：

简单组合体的结构特征．

考点点评：

本题考查简单几何体的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是难题．

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