若对任何实数x,(sinˇ2)x+2kcosx-2k-2小于0恒成立,求实数k的取值范围

Question

若对任何实数x,(sinˇ2)x+2kcosx-2k-2小于0恒成立,求实数k的取值范围

Answer 1

sin²x+2kcosx-2k-2 < 0
1-cos²x+2kcosx-2k-2 < 0
cos²x-2kcosx+2k+1 > 0
左边是一个关于cosx的二次函数,注意cosx的范围是[-1,1]
(cosx-k)²-k²+2k-1 > 0
令cosx = t,f(t)=(t-k)²-k²+2k-1,注意t的范围是[-1,1]
此时根据题目要求,f(t)=(t-k)²-k²+2k-1>0 ,分三种情况考虑.
1、对称轴在[-1,1]左侧,的情况
k < -1
且 f(-1) > 0...（由于二次函数开口向上）
2、对称轴在[-1,1]内
-1 =< k =< 1
且f(k)>0 (自己考虑为什么是k)
3、对称轴在[-1,1]右侧
k > 1
且 f(1)>0
这三种情况的K的取值范围的并集,就是所求..
注意,因为cosx的范围是[-1,1],所以不能单纯凭判别式