设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是[−13，13][−13，13]．

Question

设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a²对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是

[−(1)/(3)，(1)/(3)]

[−(1)/(3)，(1)/(3)]

．

Answer 1

取k∈R，令x＝(1)/(2)ka，则原不等式为|ka-a|+|(3)/(2)ka-2a|≥|a|²，即|a||k-1|+(3)/(2)|a||k-(4)/(3)|≥|a|²
由此易知原不等式等价于|a|≤|k−1|+(3)/(2)|k−(4)/(3)|，对任意的k∈R成立．
由于|k-1|+(3)/(2)|k-(4)/(3)|=

(5)/(2)k−3，k≥(4)/(3)

1−(1)/(2)k，1≤k＜(4)/(3)

3−(5)/(2)k，k＜1

∵y=(5)/(2)k−3，在k≥(4)/(3)时，y≥(1)/(3)
y=1-(1)/(2)k，在1≤k＜(4)/(3)时，(1)/(3)≤y＜(1)/(2)
y=3-(5)/(2)k，k＜1时，y＞(1)/(2)
所以|k-1|+(3)/(2)|k-(4)/(3)|的最小值等于(1)/(3)，
从而上述不等式等价于