某电影院共有1000个座位，票价不分等次，该影院的经营经念是：当票价不超过10元时，票可以全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，影院准

Question

某电影院共有1000个座位，票价不分等次，该影院的经营经念是：当票价不超过10元时，票可以全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，影院准备制定一个合适的票价，票价需满足以下几个条件：①票价为1元的整数倍；②放映一场电影的成本费用为5750元，票房收入必须高于成本费用．
求：（1）一张电影票的最低价格为多少元？
（2）当票价高于10元时，若票价为每张x（元），放映一场利润为y（元），求y与x的函数关系式；
（3）当每张票多少元时，放映一场电影的利润最高？最高为多少元？

Answer 1

（1）∵影院放映一场电影的成本费用为5750元，票房收入必须高于成本费用，
∴票房收入＞5750元，
∵该影院共有l000个座位，
∴一张电影票的价格＞5.75元，
又∵票价为l元的整数倍，
∴该院一张电影票的最低价格为6元；

（2）当票价高于10元时：y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x²+1300x-5750，
∵

1000−30(x−10)＞0

−30x2+1300x−5750＞0

，
∴5＜x＜38(1)/(3)，
又∵x为大于10的整数，
∴10＜x≤38．
∴y=-30x²+1300x-5750（10＜x≤38的整数）；

（3）当票价不超过l0元时：y=1000x-5750，
∵1000＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=10时，y的值最大，此时y=1000×10-5750=4250（元）；
当票价高于10元时，y=-30x²+1300x-5750，
∵-30＜0，
∴当x=(−1300)/(2×(−30))=21(2)/(3)≈22时，y的值最大，此时y=-30×22²+1300×22-5750=8330（元）．
综上可知，当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8330元．