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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成
题目详情
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴BA⊥PA．
又∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD．
∴PD⊥BA．
又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE，
∴PD⊥BE，即BE⊥PD；
（2）过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．
∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角．
∴∠PDA=30°．
∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a
∴PA=
a，PD=
a．
∴AE=
=
=a．
∵PE=
=
a，CD=
a．
∴ME=
∵PA⊥底面ABCD，
∴BA⊥PA．
又∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD．
∴PD⊥BA．
又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE，
∴PD⊥BE，即BE⊥PD；
（2）过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．
∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角．
∴∠PDA=30°．
∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a
∴PA=
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∴AE=
| PA•AD |
| PD |
| ||||
|
∵PE=
| PA2 |
| PD |
| ||
| 3 |
| 2 |
∴ME=
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