（2011•潍坊一模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1＝π3，D、E分别为AA1、A1C的中点．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC；（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Question

（2011•潍坊一模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥侧面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2，∠CAA1＝(π)/(3)，D、E分别为AA₁、A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面AA₁C₁C，A₁C⊂面AA₁C₁C，∴BC⊥A₁C．
在△AA₁C中，AC＝1，AA1＝C1C＝2，∠CAA1＝(π)/(3)，
由余弦定理得A1C2＝AC2+A

A

1 2

−2AC•AA1cos∠CAA1＝12+22−2×1×2×cos(π)/(3)＝3，
所以A1C＝√(3)．故有AC²+A₁C²=AA₁²，所以，AC⊥A₁C，而AC∩BC=C，∴A₁C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA₁，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(0，√(3)，0)，
由此可得：D((1)/(2)，(√(3))/(2)，0)，E(0，(√(3))/(2)，0)

BD

＝((1)/(2)，

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