一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是C=3x+1（万元）．（1）若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润时

Question

一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是C=3x+1（万元）．
（1）若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润时的销售量；
（2）t为何值时，政府税收总额最大．

Answer 1

（1）设T为总税额，则当销售量为x时，总税额为T=tx；
此时，商品销售总收入为：R=px=（7-0.2x）x=7x-0.2x²；
利润函数为：S=R-C-T=7x-0.2x²-（3x+1）-tx=-0.2x²+（4-t）x-1；
S'=-0.4x+4-t
令S'=0，得：
x=(4−t)/(0.4)=(5)/(2)（4-t）
显然：当x＜(5)/(2)（4-t）时，S'＞0，S单调递增；当x＞(5)/(2)（4-t）时，S'＜0，S单调递减；
所以：当x=(5)/(2)（4-t）时，利润取得最大值．
（2）有上面分析可知：x=(5)/(2)（4-t）
因此：总税额为T=tx=t•(5)/(2)（4-t）=10t-(5)/(2)t²
T'=10-5t；
令T’=0，得t=2；
显然，当t＜2时，T'＞0，T单调递增；当t＞2时，T'＜0，T单调递减；
故当t=2时，T取得最大值，此时T_max=10（万元）
综合以上分析，可知，当销售量为(5)/(2)（4-t）时，商家利润最大；当单位税收t=2万元时，总税收最大，最大为10万元．