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一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/吨),x为销售量(单位:吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元).(1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时

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一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/吨),x为销售量(单位:吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元).
(1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量;
(2)t为何值时,政府税收总额最大.
▼优质解答
答案和解析
(1)设T为总税额,则当销售量为x时,总税额为T=tx;
此时,商品销售总收入为:R=px=(7-0.2x)x=7x-0.2x2
利润函数为:S=R-C-T=7x-0.2x2-(3x+1)-tx=-0.2x2+(4-t)x-1;
S'=-0.4x+4-t
令S'=0,得:
x=
4−t
0.4
=
5
2
(4-t)
显然:当x<
5
2
(4-t)时,S'>0,S单调递增;当x>
5
2
(4-t)时,S'<0,S单调递减;
所以:当x=
5
2
(4-t)时,利润取得最大值.
(2)有上面分析可知:x=
5
2
(4-t)
因此:总税额为T=tx=t•
5
2
(4-t)=10t-
5
2
t2
T'=10-5t;
令T’=0,得t=2;
显然,当t<2时,T'>0,T单调递增;当t>2时,T'<0,T单调递减;
故当t=2时,T取得最大值,此时Tmax=10(万元)
综合以上分析,可知,当销售量为
5
2
(4-t)时,商家利润最大;当单位税收t=2万元时,总税收最大,最大为10万元.
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