高二数列：a1=1,a(n+1)=1/16[1+4an+(1+24an)^(1/2)],求通项公式an.回答得好重重有赏!

Question

高二数列：a1=1,a(n+1)=1/16[1+4an+(1+24an)^(1/2)],求通项公式an.回答得好重重有赏!

Answer 1

令bn=sqrt(1+24an),变形得an=1/24(bn2-1) (1)
1/24(bn+12-1)=1/16[1+4/24(bn2-1)+bn]
4bn+12=(bn+3)2 bn>0
2bn+1=bn+3,
bn+1=bn/2+3/2 (2)
bn+1-3=(bn-3)/2 (3)
由a1=1 得b1=5
bn=(b1-3)(1/2)n-1+3=22-n+3
an=1/24[(22-n+3)2-1]
说明:在本题解题过程中,由(1)→(2),使问题化难为易,再由(2)→(3)可使非等比数列转化为等比数列,这两次转化使问题得以解决.
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