设一铁链悬在钉子上,一端离钉子8M,一端离钉子12M,忽略摩擦力,求铁链滑离钉子的时间用微积分求

Question

设一铁链悬在钉子上,一端离钉子8M,一端离钉子12M,忽略摩擦力,求铁链滑离钉子的时间
用微积分求

Answer 1

设滑落X距离,根据牛顿第二定律：
ma={[（12+X）-（8-X）]/(12+8)}*mg
其中,a=dX^2/d^2t
上述方程,约去m后为
a={[（12+X）-（8-X）]/(12+8)}*g
这是X的微分方程,而且是二阶的
得到：X=10a/g -2
代入a的微分式
（X+2）g=10（dX^2/d^2t）
dX^2/d^2t很麻烦,令p=dX/dt则dX^2/d^2t=dp/dt=(dp/dX)*(dX/dt)=dp/dX*p
于是方程替换为（X+2）g=10dp/dX*p
（X+2）g*dX=10dp*p
积分,(1/2X^2+2X)*g=5p^2
p换回dX/dt,得到
squ[(1/2X^2+2X)*g/5]=p=dX/dt,注意,squ[...]表示开根号
也就是dt=1/squ[]*dX
再积分就是结果.
为简化g取10,
结果,ln（2X+4+2根号下[X^2+4X]）+c=t
令X=0,t=0得到2ln2+c=0,c=-2ln2.
代入X=8得到t=ln（20+16根号6）-2ln2
好像思路对,结果似乎不对呢