某地位于沙漠边缘地区，人与自然进行长期顽强的斗争，到2001年底全地区的绿化率已达到30%，从2002年开始，每年将出现下列变化：原沙漠面积的16%将栽上树改造为绿洲，原有绿洲面积的4%又

Question

某地位于沙漠边缘地区，人与自然进行长期顽强的斗争，到2001年底全地区的绿化率已达到30%，从2002年开始，每年将出现下列变化：原沙漠面积的16%将栽上树改造为绿洲，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠，
（1）设全地区面积为1，2001年底绿洲面积为a₁=(3)/(10)，经过一年绿洲面积为a₂，经过n年绿洲面积为a_n+1，写出a_n与a_n+1的关系式并求证数列{a_n-(4)/(5)}是等比数列；
（2）问经过努力到哪一年才能使全县的绿洲面积超过60%．

Answer 1

（1）证明：由已知可得a_n确定后，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-4%）+（1-a_n）•16%
即a_n+1=80%a_n+16%=(4)/(5)a_n+(4)/(25)
由a_n+1=(4)/(5)a_n+(4)/(25)可得：a_n+1-(4)/(5)=(4)/(5)（a_n-(4)/(5)）
即(an+1−(4)/(5))/(an−(4)/(5))＝(4)/(5)，a₁-(4)/(5)=-(1)/(2)
∴数列{a_n-(4)/(5)}是以-(1)/(2)为首项，公比为(4)/(5)的等比数列
（2）由（1）得a_n-(4)/(5)=（-(1)/(2)）×（(4)/(5)）^n-1，即a_n=（-(1)/(2)）×（(4)/(5)）^n-1+(4)/(5)
则a_n+1=（-(1)/(2)）×（(4)/(5)）ⁿ+(4)/(5)≥(3)/(5)
即(1)/(2)≥（(4)/(5)）^n-1
两边同时取对数可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）
故n≥(lg2)/(1−3lg2)+1＞4，故使得上式成立的最小n∈N^*为5，
答：最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%．