如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度y（m）

Question

如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P₀）开始计算时间．

（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；

（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．

　

Answer 1

【考点】在实际问题中建立三角函数模型．

【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．

【分析】（1）设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系，利用周期求得ω，当t=0时，y=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得．

（2）根据正弦函数的图象和性质可得t=5+15k（k∈Z）即当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．

【解答】（1）以O为原点建立如图所示的直角坐标系．

由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系，

∵水轮每分钟旋转4圈，

∴．

∴．

∵水轮半径为4 m，

∴A=4．

∴．

当t=0时，y=0．

∴．

∴．

（2）由于最高点距离水面的距离为6，

∴．

∴．

∴．

∴t=5+15k（k∈Z）．

∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．

【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．