如图甲所示，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距L=1m，左侧接一阻值为R=0.5Ω的电阻．在MN与PQ之间存在垂直轨道平面的有界匀强磁场，磁场宽度为d=1m．一质量为m=1kg的金属棒ab置于导轨

Question

如图甲所示，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距L=1m，左侧接一阻值为R=0.5Ω的电阻．在MN与PQ之间存在垂直轨道平面的有界匀强磁场，磁场宽度为d=1m．一质量为m=1kg的金属棒ab置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．金属棒ab受水平力F的作用，其中，F与x（x为金属棒距MN的距离）的关系如图乙所示．通过电压传感器测得电阻R两端电压随时间均匀增大．则：

（1）金属棒刚开始运动时的加速度为多少？
（2）磁感应强度B的大小为多少？
（3）若某时刻撤去外力F后棒的速度v随位移s的变化规律满足v=v₀-(B2L2)/(mR)s（v₀为撤去外力时的速度，s为撤去外力F后的位移），且棒运动到PQ处时恰好静止，则金属棒从MN运动到PQ的整个过程中左侧电阻R产生的热量约为多少？外力F作用的时间为多少？

Answer 1

（1）金属棒开始运动时，x=0，v=0，金属棒不受安培力作用，
金属棒所受合力为：F=√(2x)+4=0.4N，
由牛顿第二定律得：a=(F)/(m)=(0.4)/(1)m/s²=0.4m/s²，
（2）由题意可知，电阻R两端电压随时间均匀增大，即金属棒切割磁感线产生的感应电动势随时间均匀增大，
由E=BLv可知，金属棒的速度v随时间t均匀增大，则金属棒做初速度为零的匀加速运动．加速度a=0.4m/s²，
由匀变速直线运动的位移公式可得：v²=2ax，则v=√(2ax)，
由图乙所示图象可知，x=0.8m时，F=0.8N，
由牛顿第二定律得：F-(B2L2v)/(R)=ma，
解得：B=0.5T；
（3）设外力F的作用时间为t，力F作用时金属棒的位移为：x=(1)/(2)at²，
撤去外力后，金属棒的速度为：v=v₀-(B2L2)/(mR)s，
到PQ恰好静止，v=0，
则撤去外力后金属棒运动的距离为：s=(mR)/(B2L2)•at，
则(1)/(2)at²+(mR)/(B2L2)•at=d，
解得：t=1s；
力F作用时，金属棒的位移为：x=(1)/(2)at²=(1)/(2)×0.4×1²m=0.2m，
由F-x图象可知，图线与横纵坐标轴所包围面积代表在此过程中外力F做的功为W，
由图象可知，W=0.11J，
金属棒从MN开始运动到PQ边静止，由动能定理得：W+W_安=0，
电阻R产生的热量为：Q=-W_安=0.11J．
答：（1）金属棒刚开始运动时的加速度为0.4m/s²；
（2）磁感应强度B的大小为0.5T；
（3）金属棒从MN运动到PQ的整个过程中左侧电阻R产生的热量约为0.11J；外力F作用的时间为1s．